Modelo_del_disco_de_Poincaré - Geometría_hiperbólica

En geometría, el modelo del disco de Poincaré, también llamado representación conforme, es un modelo de la geometría hiperbólica n-dimensional en el que los puntos de la geometría están en un disco n-dimensional , o bola unitaria, y las líneas rectas de la geometría hiperbólica son segmentos de círculos contenidos en el disco ortogonal a la frontera del disco, o bien diámetros del disco. Junto con el modelo de Klein y el modelo del semiespacio de Poincaré, fue propuesto por Eugenio Beltrami quien utilizó estos modelos para mostrar que la geometría hiperbólica era equiconsistente con la geometría euclidiana.

Fuente:
Modelo_del_disco_de_Poincaré
Geometría_hiperbólica

Paradoja de los cumpleaños

mientras que es probable que ocurra algún hecho improbable, lo es mucho menos que se dé un caso concreto.

Moraleja a la paradoja de los cumpleaños.

Paradoja de los cumpleaños

• ¿Cuántas personas escogidas al azar hacen falta para tener la certeza de que dos cumplen años el mismo día? Si un año tiene 365 días (pasemos de bisiestos), nos hacen falta a lo sumo 366 personas. ¿Y si quiero tener una probabilidad del 50%?

El número de posibles n fechas de 365 (casos posibles) es:

VR(365, n) = 365^n

V(365, n) = 365*364*...*(365-n+1)

P(n personas no el mismo cumple) = V / VR = (365*364*...*(365-n+1)) / (365^n)

P(al menos dos de n mismo cumple) = 1 - V / VR = 1 - (365*364*...*(365-n+1)) / (365^n)

con n=23 esta probabilidad se hace aproximadamente 0.5

• ¿Y si fijamos la fecha? Por ejemplo, yo nací el 2 de julio, ¿cuántas personas son necesarias en un grupo para alcanzar el 50% de probabilidad de que al menos una haya nacido el mismo día que yo?

P (no nacer el 2 de julio) = 364 / 365

P (n personas no hayan nacido el 2 de julio) = (364 / 365) ^ n

P (al menos una persona de n haya nacido el 2 de julio) = 1 - (364 / 365) ^ n

Para n = 253 esta probabilidad es aproximadamente del 50%

Fuente:
http://www.estadisticaparatodos.es/taller/cumpleanos/cumpleanos.html

Los vestidos negros son vanidad para quienes visten de fantasía. Mi luto es la pena y la pena no tiene color.

Noel Rosa

Fuente:

El hombre que calculaba

Inmortalidad cuantica

por mucho que apriete el gatillo del arma nunca se disparará, toda vez que su conciencia seguirá existiendo en uno de los universos. Esto último es lo que se denomina inmortalidad cuántica.
Fuente: Suicidio cuantico

Ver: Ruleta rusa

Algoritmo genetico

BoxCar 2D es un ejemplo de algoritmo genético que corre dentro de nuestro browser y que usando lógica evolutiva trata de  crear un coche que pueda superar los obstáculos que encuentre en su camino. Es muy entretenido —casi hipnótico— ver cómo van cambiando los diseños, verlos tropezar e ir mejorando poco a poco. Uno puede ver cómo a veces los vehículos no avanzan (varias veces mi coche evolucionó a no tener ruedas) y su diseño es descartado casi de inmediato, mientras que otras características benéficas se van manteniendo.

Fuente:
http://alt1040.com/2011/02/algoritmos-geneticos-en-tu-navegador
http://www.boxcar2d.com/

Palíndromo - Capicúa

La palabra capicúa (en matemáticas, número palíndromo) se refiere a cualquier número que se lee igual de izquierda a derecha y de derecha a izquierda (Ejemplos: 212, 7.540.550.457). El término se origina en la expresión catalana cap i cua (cabeza y cola).

Creado: 11 02 2011 (capicúa reversible neto)

¿Dios creó el mal?

Un profesor universitario retó a sus alumnos con esta pregunta: - ¿Dios creó todo lo que existe?
Un estudiante contestó valiente: - ¡Sí lo hizo, Dios creo todo, si Señor! - respondió el joven - ,
El profesor contestó:- ¡Si Dios creó todo, entonces Dios hizo el mal. Pues si el mal existe y consideramos que es un reflejo de nosotros mismos, entonces Dios es malo.
El estudiante se quedó callado ante tal respuesta y el profesor feliz se jactaba de haber probado una vez más que la fe cristiana es un mito, algo no cierto.
Otro estudiante levantó su mano y dijo: - ¿Puedo hacer una pregunta, profesor?
¡Por supuesto! - respondió el profesor-.
El joven se puso de pie y preguntó: Profesor, ¿existe el frío?
¿Qué pregunta es esa? por supuesto que existe, ¿acaso usted no ha tenido frío?- respondió el profesor-.
El muchacho respondió: de hecho señor, el frío no existe según las leyes de la Física, lo que consideramos frío es en realidad ausencia de calor; todo cuerpo u objeto es susceptible de estudio cuando tiene o transmite energía, el calor es lo que hace que dicho cuerpo tenga o transmita energía; el cero absoluto es la ausencia total y absoluta de calor. Todos los cuerpos se vuelven inertes, incapaces de reaccionar, pero, ¿el frío existe? Hemos creado ese término para describir cómo nos sentimos si no tenemos calor, y,
¿Existe la oscuridad? -preguntó el estudiante-,
El profesor respondió: por supuesto,
El estudiante contestó nuevamente: se equivoca señor, la oscuridad tampoco existe. La oscuridad es en realidad ausencia de luz, la luz se puede estudiar pero la oscuridad no, e incluso existe el prisma de Nicol para descomponer la luz blanca en varios colores en que está compuesta con su diferencia en longitudes de ondas; la oscuridad no, un simple rayo de luz rasga las tinieblas e ilumina la superficie donde termina el haz de luz, ¿cómo puede saber cuán oscuro es un espacio determinado con base en la cantidad de luz presente en ese espacio? no es así; oscuridad es un término que un hombre ha desarrollado para describir lo que sucede cuando no hay luz presente.

Finalmente, él joven preguntó al profesor: ¿existe el mal?
Por supuesto que existe- contestó el profesor-, como lo mencioné al principio vemos violaciones, crímenes y violencias en todo el mundo; esas cosas son del mal.

A lo que el estudiante respondió: el mal no existe señor, o al menos no existe por sí mismo, el mal es simplemente la ausencia de Dios, es igual a los casos anteriores es un término que el hombre ha creado para describir esa ausencia de Dios, Dios no creó al mal, no es como la fe , el amor que existe, como existen el calor y la luz, el mal es el resultado de que la humanidad no tenga a Dios presente en sus corazones, es como resulta el frío cuando no hay calor, o la oscuridad cuando no hay luz,
Entonces el profesor luego de asentir con la cabeza, se quedó callado.

El nombre de aquel joven era Albert Einstein.

Fuente:
ministeriosvanguardia.blogspot.com

Nikola Tesla, Thomas Edison y la silla eléctrica

Nikola Tesla aparentemente tenía una enemistad con Thomas Edison. Después de trabajar varios meses mejorando los diseños de los generadores de corriente continua, y mientras le brindaba varias patentes que Edison registraba como propias, éste se negó a pagarle los 50.000 dólares que le había prometido si tenía éxito (a pesar de usar las mejoras), aduciendo que se trató de una "broma estadounidense", e incluso se negó a subirle el sueldo de 18 a 25 dólares a la semana.

Edison propició la invención de la silla eléctrica, que emplea corriente alterna (desarrollada por Tesla) en lugar de corriente continua -de la que él era impulsor- para así dar mala fama al invento del europeo. Harold Pitney Brown fue el inventor de la silla eléctrica. Ésta fue utilizada por primera vez en Nueva York el 6 de agosto de 1890. Fue contratado por Thomas Alva Edison para que le ayudara a desarrollar la silla eléctrica, después de haber escrito en una editorial para el New York Post donde describía cómo un hombre joven murió después de tocar accidentalmente un cable telegráfico que usaba corriente alterna en contra de los planteamientos de Nikola Tesla.

Edison, con el sistema de corriente directa, competía con la compañía eléctrica Westinghouse, que usaba corriente alterna. En 1886 el Estado de Nueva York estableció un comité que determinara una nueva forma de ejecución más humana para reemplazar el ahorcamiento. Ni Edison ni Westinghouse quisieron que sus respectivos sistemas fueran elegidos porque temían que los consumidores no quisieran que el mismo tipo de corriente eléctrica usada para matar criminales se utilizara en sus hogares.

Fuentes:
La leyenda en torno al genio
Nikola Tesla
Thomas Alva Edison
Harold P. Brown

Teoremas de incompletitud de Gödel

En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema.

Kurt Gödel

Ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo.

Kurt Gödel

Fuente: Wikipedia

Eiffel

Torre Eiffel

Newton y Bernoulli

Los Bernoulli

La cátedra de matemáticas de Basilea, a partir de Jacob, fue ocupada ininterrumpidamente por un Bernoulli u otro durante los siguientes 100 años. Hasta mediados del siglo XX (es decir, por más de 250 años) siempre hubo un titular de cátedra apellidado Bernoulli en la Universidad de Basilea.

Jacob Bernoulli

• Creador del Teorema de Bernoulli: 

"Si la probabilidad de un evento es p y si se han hecho n intentos independientes con k cifra de éxitos, entonces k/p tiende a p cuando n tiende a ∞".

• La Lemniscata de Bernoulli (ver tambien ovalo de Cassini):

r² = a.cos 2j

Eadem mutata resurgo ("Cuando me cambian, resurjo siendo la misma").

Johann Bernoulli

• Se centró en el cálculo infinitesimal y resolvió la Ecuacion diferencial de Bernoulli, propuesta por su hermano. 

• Hizo la supervisor doctoral de Leonhard Euler "mathematicorum princeps"; -el príncipe de los matemáticos- según el mismo Johann Bernoulli, y quien escribiría Sobre la gravitacion en su Carta LII: Sobre el descubrimiento de la gravitación universal por el gran Newton.

• En Francia se convirtió en defensor de Leibniz en la polémica que mantenía con Isaac Newton (a quien apodó como "La garra del Leon") por quien había sido el primero en enunciar los principios del cálculo infinitesimal. (Lo desarrollaron independientemente y sin colaborar entre sí: la diferencia estuvo en que Leibniz lo publicó de inmediato y Newton no lo hizo hasta mucho después)

Daniel Bernoulli

• Teorema de Bernoulli (no confundir con el del tío): 

  "A lo largo de un tubo de flujo, la suma de la energía cinética, de la energía potencial y de la energía de presión es constante":

P + r g h + r v² / 2 = k

Nicolás Bernoulli

• La Regla de Nicolás Bernoulli dice que:

Una persona debe considerarse muerta "cuando la probabilidad de que esté muerta sea el doble de la probabilidad de que esté viva, y no antes". ¿Cómo se determina ese momento? Muy simple: cuando, de las personas que tenían la misma edad que el desaparecido, el número de muertos sea el doble de los que están vivos. 

Otros miembros de la Royal Society

Robert Hooke

• En 1660 formuló la que hoy se denomina Ley de Hooke, que describe cómo un cuerpo elástico se estira de forma proporcional a la fuerza que se ejerce sobre él, lo que dio lugar a la invención del resorte helicoidal o muelle.

• En 1665 publicó el libro Micrographía, el relato de 50 observaciones microscópicas y telescópicas con detallados dibujos. Este libro contiene por primera vez la palabra célula y en él se apunta una explicación plausible acerca de los fósiles.

Edmund Halley

• Conocido por Calcular por primera vez la órbita de un cometa (Cometa Halley)

Joseph-Louis de Lagrange

• Demostró el teorema del valor medio muelle.

• Desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante contribución en astronomía.

 Isaac Newton

• Conocido por Leyes de la cinemática

• Teoría corpuscular de la luz

• Desarrollo del Cálculo diferencial e integral

• Ley de la gravitación universal.

Newton y su genialidad

Ex ungue leonis (Las garras del león)

En 1696, Johann Bernoulli planteó ante los matemáticos de la Royal Society dos abtrusos problemas matemáticos. Más que de un pedido de colaboración entre científicos, se trató de una especie de concurso: Johann ofreció como premio, a quien fuese capaz de dar las soluciones de ambos, un libro científico de su biblioteca personal. 

Entre los participantes del certamen se encontraban: Robert Hooke,  Sir Edmond Halley,  Gottfried Leibniz, Sir Christopher Wren, Christiaan Huygens y otras figuras de similar talento. Por causas no muy bien establecidas, Newton no estaba presente en el lanzamiento del desafío y no se enteró del concurso en ese momento.

 

Los seis meses transcurrieron, y sólo Leibniz había encontrado la solución a uno de los dos problemas. Como las bases decían que el ganador debía resolver ambos, Bernoulli extendió el plazo por seis meses más, en la esperanza de que alguien consiguiera la solución al segundo.

El año transcurrió, y nadie pudo mejorar la solución de Leibniz al primer problema y mucho menos resolver el segundo. 

Los dos problemas que habían tenido ocupados a todos los miembros de la Royal Society durante más de un año, en los cuales habían fracasado matemáticos del calibre de L´Hôpital, David Gregory y Varignon.

Los dos problemas de los cuales Leibniz sólo había encontrado una tortuosa solución para uno de ellos, fueron resueltos por Newton en diez horas.

Los dos problemas de Bernoulli.

Los dos problemas que Bernoulli propuso a la Royal Society lo habían preocupado durante años. Ambos tienen la particularidad de que se enuncian fácilmente, pero esta aparente simpleza oculta complejidades tan tremendas, que sólo la sobrehumana clarividencia de Newton pudo desentrañar en pocas horas.

• Primer problema: "Determine la braquistócrona". (ver Cicloide)

• Segundo problema: "Encuentre una curva tal que si se traza una línea desde un punto dado O, que corte a la curva en P y en Q, entonces OP´ + OQ´ sea una constante".

Fuente: http://axxon.com.ar/rev/127/c-127Divulgacion.htm

Una pregunta embarazosa (sobre el teorema de Arquímides)

Pruébese a responder al siguiente y célebre interrogante: si desde una barca que flota en una piscina se arroja al agua una piedra grande, ¿el nivel del agua de la piscina sube, desciende o sigue igual?. ¿Y si se arroja un tronco de madera?


Por el principio de Arquímedes, la piedra en la barca hace que ésta se desplace una cantidad suplementaria de agua de peso igual al de la piedra. Es decir, un volumen de agua mayor que el de la piedra, porque ésta tiene un peso específico mayor. Una vez arrojada al agua, la piedra desplaza un volumen de agua exactamente igual al peso propio, y no sucede nada más. Por tanto el nivel de agua desciende. Al contrario, no se produciría ninguna variación de nivel si se tratara de un tronco de madera. Éste quedaría flotando, desplazando una cantidad de agua de peso igual al peso propio, y ni más ni menos que si hubiera continuado en la barca.

Andrea Frova. Texto extraído de «Por qué sucede lo que sucede (Perché accade ciò che accade)». Editorial Alianza

Fuente: demecanica.com

Carta del padre de Albert Einstein al profesor W. Oswald requiriéndole aliento y un puesto de ayudante para su hijo

Estimado Sr. Profesor:

Perdone, por favor, a un padre tan atrevido como para dirigirme a usted en interés de su hijo.

Comenzaré diciéndole que mi hijo Albert tiene veintidós años, que [...] se siente profundamente desgraciado por su actual falta de empleo, y que cada día que pasa se reafirma en la idea de que se ha extraviado en su carrera quedando al margen del acontecer científico. Además, se atormenta pensando que es una carga para nosotros, gente de medios modestos [...].

Me he tomado la libertad de dirigirme a usted con este humilde requerimiento de [...] que le escriba, si es posible, unas palabras de aliento, a fin de que recobre su alegría de vivir y de trabajar.

Si, además, pudiera usted proporcionarle un puesto de ayudante, ya para ahora mismo o para el próximo otoño, mi agradecimiento no tendría límites [...].

Me tomo también la libertad de mencionar que mi hijo no sabe nada en absoluto de esta iniciativa poco acostumbrada.

Quedo a su disposición, estimado Sr. Profesor, saludándolo respetuosamente.



HERMANN EINSTEIN

13 Abril de 1901
Profesor Wilhelm Oswald
Universidad de Leizpig
Leizpig, Alemania



Fuente: demecanica.com